正余弦定理例题20道(正余弦定理20道例题)

攻克三角函数核心：正余弦定理20道经典例题全解析

在高中数学的浩瀚海洋中，三角函数占据着至关重要的地位，而正弦定理（Sine Rule）与余弦定理（Cosine Rule）则是解开三角形谜题的两把金钥匙。无论是几何计算、物理受力分析，还是实际工程测量，这两大定理都展现出强大的生命力。 许多同学在初学阶段容易混淆两者的适用场景，或在复杂变形中迷失方向。为了帮助大家彻底掌握这一知识点，本文精心整理了20道具有代表性的例题，涵盖基础计算、边角互化、面积求解、最值问题及实际应用五大板块，并附带详细解析，助你从“懂”到“通”，再到“精”。

第一部分：基础巩固——直接应用定理（第1-5题）

这一部分旨在熟悉公式的基本形态，练习直接代入数据求解。

例题 1：已知三边求角

题目：在 中，，求 的大小。 解析： 利用余弦定理：。 因为 ，所以 为钝角。 答案：

例题 2：已知两边及夹角求第三边

题目：在 中，，求边 。 解析： 由余弦定理：。 答案：

例题 3：已知两边及对角求另一角（正弦定理）

题目：在 中，，求 。 解析： 由正弦定理：。 因为 ，所以 ， 可能为锐角或钝角。 答案： 或

例题 4：判定三角形形状

题目：在 中，若 ，判断三角形形状。 解析： 由余弦定理推论，，即 。 答案：钝角三角形

例题 5：已知两角一边求其余

题目：，求 。 解析： 。 由正弦定理：。 答案：

第二部分：边角互化与恒等变形（第6-10题）

考察对定理公式的灵活记忆与代数变形能力。

例题 6：化简三角表达式

题目：化简 。 解析： 根据正弦定理，（为外接圆半径）。 原式 。 答案：0

例题 7：已知关系式求角

题目：在 中，，求 。 解析： 展开得 。 由余弦定理 。 答案：

例题 8：正弦定理与余弦定理综合

题目：若 ，判断 形状。 解析： 。 代入题设：。 此路较复杂，更简单的方法： (较繁琐) 换思路：。 题目给出 。 联立得 。 这意味着 或 ，即三角形为直角三角形（ 不是直角，而是 或 与另一个角差90度，结合内角和，实际推导出 更常见于此类题型变体，此处若严格按式推导，需讨论具体范围，通常此类题意指 为直角三角形）。 修正常见考法：若题目为 ，则 为直角三角形。若按原题，需进一步讨论，但核心在于利用 展开。

例题 9：求外接圆半径

题目： 中，，求外接圆直径 。 解析： 由正弦定理 。 答案：4

例题 10：比例问题

题目：在 中，，求最大角。 解析： 由正弦定理，。设 。 最大角为 。 。 答案：

第三部分：面积问题与高线计算（第11-15题）

结合三角形面积公式 进行综合求解。

例题 11：已知两边一角求面积

题目：，求 。 解析： 。 答案：5

例题 12：海伦公式与正余弦定理结合

题目：三边长为 3, 4, 5，求面积及外接圆半径。 解析： 这是直角三角形，。 斜边 为直径，。 答案：面积 6，半径 2.5

例题 13：已知面积和两边求夹角

题目：，求 。 解析： 。 答案： 或

例题 14：求三角形的高

题目： 中，，求 边上的高 。 解析： 先求 长度：。 利用面积法：。 同时 。 。 答案：

例题 15：中线长公式应用

题目：，求 边中线 的长度。 解析： 先求 。 中线长公式：。 。 答案：

第四部分：最值与范围问题（第16-18题）

这是高考及竞赛中的高频难点，涉及函数思想与不等式。

例题 16：已知一边一角求周长最大值

题目： 中，，求 的最大值。 解析： 由余弦定理：。 。 由基本不等式 ，则 ，即 。 当且仅当 时取等号。 。 答案：4

例题 17：求面积的最大值

题目：同上题，求 面积的最大值。 解析： 。 由例题16知 。 。 答案：

例题 18：已知正弦值求边长范围

题目：在 中，，且 ，求 的范围。 解析： 。 代入得 。 所以 ，三角形为等腰三角形，。 由正弦定理 。 。 。 因为 。且 。 又因 ，三角形存在， 可取 。 当 时，（退化）；当 时，。 但在三角形中，两边之和大于第三边：。 且由 ，构成等腰，。 实际上，由 ，由余弦定理 。 更简单的范围：。 答案： 注：具体上限取决于题目是否隐含锐角等条件，通常此类题考察三角形存在性条件 。

第五部分：实际应用与综合拓展（第19-20题）

将数学知识回归现实情境。

例题 19：航海/测量问题

题目：一艘船从 A 点出发，沿北偏东 30° 方向行驶 10km 到达 B 点，然后沿北偏西 60° 方向行驶 5km 到达 C 点。求 A、C 两点间的距离。 解析： 画图分析， 的补角涉及方向角。 北偏东 30° 与 北偏西 60°，两方向夹角为 ？ 注意：在 B 点，进入方向是南偏西 30°，离开方向是北偏西 60°。 向量角度分析： 角度 60°（相对于x轴）， 角度 150°。 夹角 ？ 让我们用几何法： A点出发北偏东30°。B点处，相对于正北顺时针30°。 从B点看A点是南偏西30°。 从B点去C点是北偏西60°。 南偏西30°与北偏西60°之间的夹角： 南偏西30° = 180+30 = 210°方向（从北顺时针）。 北偏西60° = 360-60 = 300°方向。 夹角 = 300 - 210 = 90°。 所以 是直角三角形，。 。 答案： km

例题 20：综合不等式与三角

题目：在锐角 中，，求 的取值范围。 解析： 由余弦定理 。 。 因为是锐角三角形，。 。 由 (显然)。 考虑极端情况：当 时， 需满足 且 。 此题更严谨解法： 。 由 且构成三角形，。 在锐角三角形约束下， 恒成立。 上限：当 ，？不对，，则 。但锐角要求 ，所以 。 当 或 时， 会变大。 若 ，，则 ，无上限？ 但在锐角三角形中， 的范围通常结合具体角度。 若仅知 且为锐角三角形， 的下界为 4（当 极限情况），上界取决于其他角接近90度的情况。 简化版结论：对于固定边 的锐角三角形， 的范围是 的子集，具体需更多条件。 修正：通常此类题会给定 。若未给定，仅知锐角，则 。 通过以上20道例题的系统训练，我们可以发现，正余弦定理不仅仅是公式的套用，更是数形结合与代数变形能力的试金石。 1. 选对定理：知三边求角、知两边夹角求第三边，首选余弦定理；知两角一边、知两边对角，首选正弦定理。 2. 注意范围：正弦定理求角时，务必根据“大边对大角”判断解的个数（一解、两解或无解）。 3. 灵活转化：遇到复杂条件，尝试将其转化为边角关系，利用恒等式简化。 希望这份精选习题集能成为你数学学习路上的得力助手。多加练习，熟能生巧，你一定能轻松驾驭三角形中的所有难题！