角平分线定理练习题(角平分线习题)

攻克几何难点：深度解析与实战演练——角平分线定理练习题全攻略

在初中及高中几何的学习体系中，“三角形”无疑是最基础也最重要的图形之一。而在三角形的众多性质中，角平分线定理（Angle Bisector Theorem）因其简洁的比例关系和广泛的适用性，成为了解决线段比例、长度计算以及证明问题的“利器”。 然而，许多同学在面对相关题目时，往往感到无从下手，或者容易混淆角平分线定理与中线、高线的性质。本文将通过理论回顾、经典题型解析及进阶练习题，帮助你彻底掌握这一核心知识点。

一、 核心回顾：什么是角平分线定理？

1. 定理内容

在 中，若 是 的角平分线，且 点落在边 上，则有： 通俗记忆：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段，与这个角的两边对应成比例。

2. 逆定理

如果点 在边 上，且满足 ，那么 就是 的角平分线。

3. 易错点警示

适用前提：必须是三角形内部的角平分线。 对应关系：分子分母必须“对应”。即 对应 ， 对应 。切勿交叉对应。 延伸知识：当涉及角平分线的外角时，需使用“外角平分线定理”，其结论形式类似，但点 会落在 的延长线上。

二、 经典题型解析：从基础到综合

为了让你更好地理解定理的应用，我们精选了三类典型题目进行详细拆解。

类型一：直接应用求线段长度

【题目】 如图，在 中， 平分 交 于点 。已知 ，，。求 和 的长。 【解析】 1. 设未知数：设 ，因为 ，所以 。 2. 列方程：根据角平分线定理 ，代入数据： 3. 解方程： 4. 得出结论：，。 【技巧点拨】 此类题目关键在于“设而不求”或“设一个求另一个”，利用比例式建立关于 的一元一次方程。

类型二：结合面积法或平行线性质

【题目】 在 中，，， 是角平分线。过点 作 交 于点 。求 的长。 【解析】 1. 分析平行线性质：因为 ，根据平行线分线段成比例定理，有 。 2. 转化比例：由角平分线定理知 （注意：这里利用了合比性质推导出的 ）。 更直观的方法：先求 。 。 所以 。 3. 利用平行线：因为 ，所以 。 。 。 4. 求 ：。 【技巧点拨】 当题目中出现“平行线”时，通常要联想到“相似三角形”或“平行线分线段成比例”，再结合角平分线定理提供的比例关系，往往能巧妙求解。此外，利用角平分线+平行线构造等腰三角形（如本题中若延长 交 延长线等）也是常见辅助线思路。

类型三：综合证明与比例变换

【题目】 已知 中， 是角平分线。求证： 的另一种形式： 是否成立？并说明理由。 【解析】 这是一个考察比例性质的题目。 1. 已知：。 2. 利用合比性质：在比例式 中，若 ，则 。 3. 推导： 即 。 4. 结论：成立。 【技巧点拨】 熟练掌握比例的合比、分比、等比性质，可以将角平分线定理转化为多种等价形式，这在解决复杂几何证明题时非常有用。例如， 在涉及线段差的问题中极具价值。

三、 进阶挑战：自我检测练习

建议你在纸上独立完成以下练习，以检验掌握程度。 练习题 1（基础巩固） 在 中， 平分 ，，，。求 的长及 的总长。 练习题 2（逆向思维） 在 中， 为 上一点，，，，。判断 是否为 的角平分线？请说明理由。 练习题 3（综合应用） 如图，在 中，，，， 平分 交 于 。求 的长度。（提示：先求 和 ，再用勾股定理求 在 中的长度，或者利用面积法/相似三角形）。

参考答案

练习题 1 答案： 由 。 解得 。 。 练习题 2 答案： 计算 。 计算 。 因为 ，根据角平分线定理的逆定理， 是 的角平分线。 练习题 3 答案： 首先，。 由角平分线定理：。 因为 ，所以 ，。 在 Rt 中，。 。

四、 学习建议与总结

1. 画图规范：做几何题时，务必画出准确的图形。角平分线定理依赖于点的位置关系，图形不准容易导致判断错误。 2. 多写比例式：看到角平分线，第一时间在草稿纸上写出 ，然后尝试进行变形（合比、分比），往往能发现题目中隐藏的等量关系。 3. 辅助线思维：如果直接运用定理受阻，考虑添加辅助线构造相似三角形或利用平行线转移比例，这是解决高阶几何题的通法。 角平分线定理不仅是几何计算的工具，更是培养逻辑推理能力的载体。通过大量的针对性练习，你将能熟练驾驭这一几何“金钥匙”，在复杂的图形中找到解题的突破口。加油！